5. Diferenciacion e integracion numerica

5.1 DIFERENCIACION NUMERICA 

procedimientos para diferenciar numéricamente funciones que están definidas mediante datos tabulados o mediante curvas determinadas en forma experimental.

Un método consiste en aproximar la función en la vecindad del punto en que se desea la derivada, mediante una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y utilizar entonces la derivada de la parábola en ese punto como la derivada aproximada de la función.

Otro ejemplo, que comentaremos aquí, utiliza los desarrollos en serie de Taylor.

La serie de Taylor para una función Y = f(X) en Xi + Delta X, desarrollada con respecto al punto Xi es

Desarrollo de Taylor

(1)

en donde Yi es la ordenada que corresponde a Xi y Xi + Delta Xse encuentra en la región de convergencia. La función para Xi - Delta Xestá dada en forma similar por:

(2)

Utilizando solamente los tres primeros términos de cada desarrollo, podremos obtener una expresión para Y’i restando la ec. (2) de la ec. (1),

 

5.2 INTEGRACION NUMERICA

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de unaintegral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

\int_a^b f(x)\, dx

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

y'(x) = f(x), \quad y(a) = 0

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como elmétodo de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

 

 

 

 

 

 

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