2. Raices de ecuaciones

2.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado, dado que las raíces se cuentan con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

  • El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
  • Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma .

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: todo polinomio en una variable con coeficientes complejos de grado al menos uno tiene al menos una raíz compleja. Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema en análisis que en álgebra.

 2.2 REGLA DE SIGNOS DE DESCARTES

*El Número de Raíces Positivas es Igual al Número de Variaciones   ( J ) de f(x) ó es menor que este Número en un  número Par.

* El Número de Raíces Negativas es Igual al Número de Variaciones de f(-x) ó es menor que este Número en un Número Par.

*    Por ejemplo:

+      –      i

3      2     0

1      2     2

3      0     2

1      0     4

La Regla de los Signos de Descartes nos dice de acuerdo con la Tabla anterior que la Ecuación tiene por lo menos 1 Raíz Positiva y Máximo 3,y que ó tiene 2 Raíces Negativas ó no tiene ninguna.

 

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