1. Análisis de errores

1.1 Tipos de errores

SERIE DE TAYLOR

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos, Términos que se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable

proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando.

o expresado de otra forma

Donde n! es el factorial de n

F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a “a” siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de TaylorSi la función y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y a x, entonces el valor de la función en un punto x

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

R_n = O(h^{n + 1} )

1.2  Exactitud y presicion

Son términos  que de manera frecuente se utilizan en el lenguaje coloquial como cosas semejantes, inclusive como sinónimos. Sin embargo veremos que esto no es del todo aceptado en áreas de ciencias e ingeniería reconociendo que hay diferencias muy marcadas entre estas.

Exactitud.

La exactitud es lo cerca que el resultado de una medición está del valor verdadero.

Precisión.

La precisión es lo cerca que los valores medidos están unos de otros.

1.3 Error Absoluto y Relativo.

  • Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
  • Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

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