3. Sistema de ecuaciones lineales

December 6, 2012 Leave a comment

3.1 METODO DE GAUSS

 

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por reducción a la forma escalonada.

Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones.

Reduciremos el sistema de ecuaciones

2x 1 +  3x 2 + 4x 3  –     x 4 =  1

x 1 +  2x 2   –   x 3   +  2x 4 =  0

(3.26)               3x 1 –  2x 2 +   x 3   +    x 4 = -1

3x 1 + 5x 2 + 3x 3     +   x 4 =  1

6x 1 + 3x 2 + 4x 3    + 2x 4 =  0

a un sistema de ecuaciones equivalente, para hallar soluciones del mismo.

La matriz aumentada del sistema 3.26 es

2     3     4    -1 ½    1

(3.27)                   1     2    -1     2 ½    0

3    -2     1     1 ½   -1

3     5     3     1 ½    1

6     3     4     2 ½    0

Intercambiando la primera fila con la segunda obtenemos:

1     2    -1    2  ½   0

2     3     4    -1 ½    1

(3.28)               3    -2     1     1 ½   -1

3     5     3     1 ½    1

6     3     4     2 ½    0

Restando de las filas 2da., 3ra., 4ta., y 5ª., multiplos convenientes de la 1ra., llegamos a:

1     2    -1      2  ½   0

0    -1     6     -5  ½   1

(3.29)               0    -8     4     -5  ½  -1

0    -1     6     -5  ½   1

0    -9   10  -10   ½   0

Restando de las filas 3ra., 4ta., y 5ta., multiplos convenientes de la 2da., transformamos (3.29) en

1     2    -1     2  ½   0

0    -1     6    -5  ½   1

(3.30)               0     0   -44    35½  -9

0     0     0      0 ½    0

0     0   -44    35½   -9

Sumando a la 5ta. fila el negativo de la 3ra.,

1     2    -1     2  ½   0

0    -1     6    -5  ½   1

(3.31)               0     0   -44    35½  -9

0     0     0      0 ½    0

0     0     0      0 ½   0

Las matrices (3.27), (3.28.) , (3.29), (3.30)  y  (3.31) son matrices aumentadas de sistemas de ecuaciones lineales equivalentes, lo cual se probará en la próxima sección. Por lo tanto las soluciones de (3.26) son exactamente las soluciones del sistema

(3.32)              x1 +  2 x2  –   x3  +   2x4  =    0

–  x2 +  6x3  –   5x4  =    1

– 44x3  + 35x4  = – 9

En el cual se han eliminado las dos últimas filas por ser irrelevantes.

Dando valores a   x4   se hallan diferentes soluciones por sustitución regresiva.

Las operaciones por filas que denotaremos de ahora en adelante OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS son:

1.       Intercambio de dos filas.

2.       Multiplicación (o división) de una fila por un número diferente de cero.

Sustitución de una fila por su adicion (o sustracción) con un múltiplo de otra fila.

3.2 GAUSS SEIDEL

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez,definida positiva.

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

A x = b,\,

donde:

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración (k+1)\,:

<br /> x^{(k+1)} = M x^{(k)} + c.\,<br />

donde

A = N-P\,

definimos

M = N^{-1}P\,

y

c= N^{-1}b\,,

donde los coeficientes de la matriz N se definen como n_{ij} = a_{ij}\,  si i{\leq}j, n_{ij} = 0 \, si i>j\,.

Considerando el sistema  Ax=b,\,  con la condición de que a_{ii}{\neq}0, i= 1, ..., n\, . Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método

x_i^{(k+1)}=\frac{-\sum_{1{\leq}j{\leq}i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum_{i+1{\leq}j{\leq}n}a_{ij}x_{j}^{(k)}+b_i}{a_{ii}}, i=1,...,n \, (*)

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.

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